证明：
证明：
取;
容易有
由是的外接圆,以及
有:
右边可由极坐标计算得
带入可得:
即
得证.
求:
令 ，则 。
设在上为凸函数,且在上二阶可导,证明,在上有:
若当有,则对于由泰勒公式
使得:
以及
两式子相加有由可得与在上为凸函数矛盾.
故假设不成立,当有.
设函数 在 内二阶可导，，且等号仅在有限个点处成立，证明： 在 内为凸函数。
则对于任意 , 由泰勒公式
使得:
以及
两式子相加有
有
故可得
即 在 内为凸函数。
若 在 上为凸函数, 且在 上可导, 证明： 单调递减.
取 满足
则 由 在 上为凸函数, 有可得可得:即令 由海涅定理及保号性, 有
若 在 上连续, 且 在 上单调递减, 证明:
在 上为凸函数.
对
由 Taylor 公式, 使:有:由 单调递减,
故得证.